O símbolo integral (∫) usado, na matemática, para representar a notação introduzida, no final do século XVII, pelo matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, determina a área sob uma curva no plano cartesiano. Na física, o símbolo indica a posição em todos os instantes de um objeto, se for de conhecimento a sua velocidade instantânea em todos os instantes.
Os primeiros problemas relacionados com as integrais foram os de quadratura. Uma das problemáticas mais antigas, enfrentada pelos gregos, foi o de medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os primeiros especialistas em geometria começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser esta uma figura mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que possuísse uma área igual à da figura que estava sendo estudada.
Por volta de 430 a.C., Antifon dedicava-se a encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos quando, o mesmo, percebeu um problema: tal sequência nunca poderia ser concluída. Mais tarde, Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola é igual a 4/3 da área do triângulo. O matemático grego também gerou uma soma com infinitos termos, no entanto ele conseguiu provar o resultado, evitando, com o auxílio do método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de termos – esse foi o primeiro exemplo conhecido na história de soma infinita que fora resolvido.
Outras contribuições para o cálculo integral só apareceram no final do século XVI quando a mecânica fez com que os matemáticos se debruçassem a estudar problemas relacionados com o centro de gravidade. Pesquisadores como Kepler, Cavalieri, Newton e Leibniz deram continuidade aos trabalhos desenvolvidos.
Wilhelm Leibniz foi o primeiro a usar a integração como uma soma. Daí veio o símbolo integral – um ‘s’ longo. Segundo o matemático, a integral representa a área de uma figura através da soma das áreas de todos os retângulos definidos pelas ordenadas e diferenças entre as abscissas. Diferente de Newton que via o cálculo como geométrico, o cientista alemão via mais como analítico. Leibniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, os seus estudos foram mais eficazes do que o de Newton e acabou por se consolidar e ser utilizado até os dias de hoje.
Atualmente, o cálculo integral é muito utilizado em diversas áreas do conhecimento e aplicado em problemas não só de matemática, como também de astronomia, física, engenharia, economia, química e medicina, por exemplo.
